Что такое Аннуитет пренумерандо. Аннуитеты в мсфо Что такое аннуитет

Аннуитет пренумерандо – англ. Annuity Due , представляет собой серию платежей, которые периодически осуществляются в начале каждого периода (например, месяц, квартал, полугодие или год). Этот тип инструмента может представлять из себя инвестицию или кредит, в зависимости от цели и владельца аннуитета. Примером аннуитета могут служить сберегательные счета, страховые полисы, ипотека и другие подобные инвестиции. Ключевой особенностью аннуитета пренумерандо является то, что все платежи осуществляются в начале каждого периода.

Концепция стоимости денег во времени предполагает широкое использование аннуитетов в финансовых расчетах. Ее суть заключается в том, что стоимость 1 у.е. сегодня выше, чем стоимость 1 у.е. завтра. Например, банки и другие финансовые институты предлагают выплачивать проценты по депозитам, стимулируя инвесторов вкладывать свои свободные средства. В этой ситуации возникает понятие упущенной выгоды, когда инвестор мог бы получить доход, вложив свои средства, но не сделал это. На этом и базируется концепция стоимости денег во времени, которая использует такие понятия как будущая стоимость, настоящая стоимость, процентная ставка, ставка дисконтирования или требуемая норма доходности (англ. Required Rate of Return ), инвестиционный горизонт.

где A – размер платежа;

i – процентная ставка за период;

N – количество периодов.

Например, инвестор намеревается ежемесячно размещать на депозит по 500 у.е. в течение 2-ух лет под 7% годовых при условии, что каждый взнос будет осуществляться в начале каждого месяца. Чтобы рассчитать сумму, которая будет в распоряжении инвестора воспользуемся приведенной выше формулой. Однако прежде необходимо привести годовую процентную ставку к месячной, которая составит 0,583% (7%/12). При этом количество периодов составит 24 (24 месяца).

Таким образом в распоряжении инвестора через два года окажется сумма в размере 12914,87 у.е.

Для расчета настоящей стоимости аннуитета пренумерандо необходимо использовать следующую формулу.

Эта формула, например, может быть использована для расчета размера аннуитетного платежа по кредиту. Допустим, заемщик намеревается взять кредит в банке на сумму 25000 у.е. сроком на 5 лет под 17% годовых при условии, что кредит будет погашаться ежемесячно. Чтобы рассчитать размер платежа необходимо воспользоваться формулой настоящей стоимости аннуитета пренумерандо, выразив из нее платеж (A ).

Для оценки движения финансовых потоков во времени применяют различные формулы финансовой математики , в том числе и расчет будущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо.

Постнумерандо - поступления выплат происходят в конце периода.

денежный поток , состоящий из одинаковых по величине выплат и существующий определенное время можно пересчитать в будущую стоимость, суммировав все наращенные выплаты с учетом условия постнумерандо.

Наращение - финансовая операция, при которой происходит расчет будущей стоимости сегодняшней инвестиции при заданном сроке и процентной ставке .

Формула будущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо:

FV - будущая стоимость;

r - процентная ставка , долей единиц;
n - количество лет.

FV = 100 * ((1 + 0,12) 5 + (1 + 0,12) 4 + (1 + 0,12) 3 + (1 + 0,12) 2 + (1 + 0,12)) = 635 рублей.

Планируемая к получению сумма, при вышеприведенных условиях, составит 635 рублей.

Рис. 1. График будущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо ссудного процента 4, 12, 20, 28% годовых

Будущая стоимость срочного аннуитета пренумерандо

Для оценки движения финансовых потоков во времени применяют различные формулы финансовой математики , в том числе и расчет будущей стоимости срочного аннуитета пренумерандо.

Пренумерандо - поступления выплат происходят в начале периода.

Сущность расчета заключается в том, что денежный поток , состоящий из одинаковых по величине выплат и существующий определенное время можно пересчитать в будущую стоимость, суммировав все наращенные выплаты с учетом условия пренумерандо.

Формула приведенной стоимости срочного аннуитета пренумерандо:

FV - будущая стоимость;
A - величина равномерного поступления;
r - процентная ставка , долей единиц;
n - количество лет.

FV = 100 * (1 + 0,12) * ((1 + 0,12) 5 + (1 + 0,12) 4 + (1 + 0,12) 3 +...
+(1 + 0,12) 2 + (1 + 0,12)) = 711,51 рублей.

Рис. 2. График будущей стоимости срочного аннуитета пренумерандо ; конечные стоимости при ежегодных поступлениях 1000 руб. и ставки ссудного процента 4, 12, 20, 28% годовых

На тему этой методики существуют примеры

Аннуитетом (финансовой рентой ) называется такой денежный поток, при котором платежи равного размера перечисляются через равные временные отрезки. Все аннуитеты бывают срочными и бессрочными .

Чем срочный аннуитет отличается от обычного?

Срочный аннуитет предусматривает последовательность денежных перечислений одного размера с начислением процентов с самого первого периода. Разницу между двумя видами аннуитетов легче понять из рисунка, приведенного в книге Дж. Ван Хорна:

На рисунке сопоставляются процедуры расчета двух видов аннуитета размером в 1000 долларов и годовой ставкой в 8%. Дж. Ван Хорн отмечает: создается впечатление, будто при обычном аннуитете выплаты происходят в 1,2 и 3 периодах, а при срочном - во 2, 3, 4 периодах. Общая стоимость трехлетнего срочного аннуитета по примеру оказывается равной стоимости обычного аннуитета с одним дополнительным периодом. Разумеется, срочный аннуитет является более выгодным для получателя денег, потому как его процентная прибыль выше.

Какие виды срочного аннуитета встречаются?

Срочные аннуитеты классифицируются по времени платежа на постнумерандо и пренумерандо . При аннуитете пренумерандо деньги перечисляются в начале года, при постнумерандо - в конце.

И постнумерандо, и пренумерандо могут рассчитываться по двум схемам: дисконтирования и наращения :

Дисконтирование - это расчет текущей стоимости будущего финансового потока. При дисконтировании срочного аннуитета пренумерандо используется такая формула:

A = FV * * (1 + r) / r

где FV - общая сумма аннуитета, r - процентная ставка, A - фиксированная часть выплаты, n - число периодов.

Выражение в квадратных скобках носит название аннуитетный коэффициент дисконтирования . Это выражение можно представить математически, однако, расчет займет слишком много времени. Гораздо легче определить аннуитетный коэффициент с помощью специальной таблицы:

Чтобы иметь возможность воспользоваться таблицей, достаточно знать процентную ставку и число периодов.

Наращение - это, напротив, вычисление будущей суммы, которую реально получить с тех денег, которые есть в наличии. Формула для расчета срочного аннуитета пренумерандо немного отличается:

FV = A * [(1 + r) ^ n - 1] * (1 + r) / r

Для коэффициента наращения тоже существует таблица расчетов:

Для вычисления срочного аннуитета постнумерандо используются следующие формулы (переменные уже знакомы):

Дисконтирование	A = FV / (1 + r) + FV / (1 + r) ^ 2 +…+ FV / (1 + r) ^ n
Наращение	FV = A * (1 + r) ^ (n - 1) + A * (1 + r) ^ (n - 2) + … + A

Где применяются срочные аннуитеты?

Со срочными аннуитетами люди постоянно встречаются в жизни. Например, если человек, пополняющий банковский депозит регулярно, желает рассчитать, какую прибыль он получит через несколько лет, он должен воспользоваться формулой наращения срочного аннуитета.

Кроме того, вычисление срочного аннуитета нужно для:

• Сравнения нескольких кредитных предложений

• Определения полной суммы кредита вместе с процентами

Будьте в курсе всех важных событий United Traders - подписывайтесь на наш

Аннуитет постнумерандо - англ. Ordinary Annuity , представляет собой серию платежей, которые периодически осуществляются в конце каждого периода (например, месяца, квартала, полугодия или года). При этом аннуитет постнумерандо, как правило, выплачивается в течение фиксированного периода времени. Наиболее распространенными примерами такого аннуитета могут служить ипотека с фиксированной процентной ставкой и купонные платежи (англ. Coupon Payment ) по облигациям с фиксированной процентной ставкой.

Размер платежа при аннуитете постнумерандо зависит от основной суммы, процентной ставки и периода времени, в течение которого будут осуществляться платежи. В финансовых расчетах используются такие величины как настоящая стоимость (англ. Present Value ) и будущая стоимость (англ. Future Value ), которые необходимы для оценки целесообразности тех или иных инвестиций.

Будущая стоимость аннуитета постнумерандо рассчитывается по следующей формуле.

где A – размер платежа;

i – процентная ставка за период;

N – количество периодов.

Эта формула может быть применена для определения будущей суммы накоплений инвестора, что удобно рассмотреть на простом примере. Допустим, инвестор решил ежемесячно вносить на депозит по 800 у.е. в течение 5 лет при условии, что процентная ставка останется фиксированной на протяжении всего срока в размере 5% годовых. Чтобы воспользоваться приведенной выше формулой, необходимо привести в соответствие исходные данные.

1. Размер ежемесячного платежа составит 800 у.е.
2. Годовую процентную ставку необходимо привести к месячной, которая составит 0,4167% (5%/12).
3. Количество периодов составит 60 (5 лет по 12 платежей).

Таким образом в распоряжении инвестора через 5 лет будет сумма в размере 54404,87 у.е.

FVA=800*((1+0,004167)60-1)/0,004167=54404,87 у.е.

Настоящая стоимость аннуитета постнумерандо рассчитывается следующим образом.

Например, эта формула может использоваться в практических расчетах для определения размера ежемесячного платежа по ипотеке. В этом случае кредитор предоставляет заемщику сумму, необходимую для покупки объекта недвижимости. При этом заемщик обязуется осуществлять регулярные платежи в пользу кредитора в течение оговоренного периода времени.

Допустим, что банк предоставил заемщику 150000 у.е. для приобретения квартиры на следующих условиях:

• срок кредитования 15 лет;
• процентная ставка 8% годовых;
• погашение ипотеки осуществляется ежемесячно в конце каждого месяца.

Используя формулу настоящей стоимости аннуитета постнумерандо можно рассчитать размер ежемесячного платежа.

Чтобы воспользоваться этой формулой необходимо привести в соответствие исходные данные.

1. Настоящая стоимость аннуитета составит 150000 у.е.
2. Годовую процентную ставку необходимо привести к месячной, которая составит 0,6667% (8%/12).
3. Количество периодов составит 180 (15 лет по 12 платежей).

Таким образом размер ежемесячного платежа составит 1433,48 у.е.

A=(150000*0,006667)/(1-(1+0,006667)-180)=1433,48 у.е.

Следовательно, заемщик обязан в течение 15 лет осуществить в пользу банка 180 платежей по 1433,48 у.е.

В некоторых случаях аннуитет может не иметь фиксированного периода, в течение которого будут осуществляться платежи. Например, в случае пенсионного страхования выплаты будут осуществляться в пользу пенсионера пожизненно. В некоторых случаях таким договором может быть установлен минимальный период времени, в течение которого должны будут осуществляться выплаты, однако максимальный период ограничен только продолжительностью жизни получателя.

Если же деньги вкладываются в начале каждого года, то имеем дело с постоянным аннуитетом пренумерандо, который схематично выглядит таким образом  

Для определения будущей и приведенной стоимости этого аннуитета пренумерандо можно воспользоваться полученными результатами и формулами (118) и (119) или соответственно формулами (126) и (127) при m = р = 1  

Анализируются два варианта накопления средств по схеме аннуитета пренумерандо а) класть на депозит сумму в размере 15 тыс. руб. каждый квартал при условии, что банк начисляет 20% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов б) делать ежегодный вклад в размере 52 тыс. руб. на условиях 22% годовых при ежегодном начислении сложных процентов . Какая сумма будет на счете через 8 лет при реализации каждого плана Какой план более предпочтителен Изменится ли Ваш выбор, если процентная ставка во втором плане будет увеличена до 23%  

Видим, что полученные величины отличаются незначительно (всего на 11 руб.). Кстати, считая, что имеем дело с аннуитетом пренумерандо, по формуле (126) находим  

Для определения будущей и приведенной стоимости этого аннуитета пренумерандо можно воспользоваться полученными результатами и формулами (118) и (119)  

Формулы для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета, период которого больше базового периода начисления процентов , аналогичны формулам для оценки будущей и приведенной стоимости обычного аннуитета . Формулы для оценок аннуитета пренумерандо получаются из соответствующих формул для оценок аннуитета постнумерандо с использованием, как правило, того факта, что денежные поступления пренумерандо начинаются на период (аннуитета) раньше, чем постнумерандо.  

Каково соотношение между приведенными стоимостями аналогичного вида аннуитетов пренумерандо и постнумерандо, периоды которых больше базового периода начисления процентов  

Решение. Согласно условию имеем аннуитет пренумерандо с членом. 4 = 14 тыс. руб., периодом и = 2 года и сроком п = 10 лет. Сложная процентная ставка г = 22% годовых и число начислений процентов т -1.  

Аннуитет пренумерандо - аннуитет, каждый элемент которого имеет место в начале соответствующего периода.  

Рис. 7. Будущая стоимость аннуитета пренумерандо

Для коэффициента наращения аннуитета пренумерандо," получаем следующее соотношение  

Можно также заметить, что для определения современных значений каждого платежа дисконтирование по заданной ставке i проводится на один раз меньше, чем в случае аннуитета пренумерандо. Поэтому каждая современная величина Ak будет больше в (1 + О раз. Таким образом,  

Для нахождения размера платежа и срока аннуитета пренумерандо можно по формулам (7. 1 1) и (7. 1 3) найти для заданных значений 5П и Лп соответствующие значения 5 и А и пользоваться далее формулами, выведенными для аннуитета постнумерандо.  

Для аннуитета пренумерандо, соответственно, получаем  

Анализируются два варианта накопления средств по схеме аннуитета пренумерандо, т.е. поступление денежных средств осуществляется в начале соответствующего временного интервала  

Приведенная (текущая) стоимость срочного аннуитета пренумерандо  

Аннуитет пренумерандо Аннуитет постнумерандо  

Аналогично, приведенная стоимость аннуитета пренумерандо может быть найдена по формулам  

В данном случае мы имеем дело с аннуитетом пренумерандо, будущую стоимость которого и предлагается оценить. В соответствии с формулой (4.24) найдем искомую сумму S